Na infância, mudou-se com a família para a França, onde o pai mantinha uma fábrica de móveis. Na juventude, voltou à Dinamarca e passou a se dedicar aos estudos de teatro no Royal Danish Theatre. Ao longo da carreira, o diretor fez aparições em 20 filmes como intérprete e, em várias outras, assinou o roteiro e a produção. Axel dirigiu longas como Jutland ; reinado de ódio (1994) e Lumi;re e companhia (1995). No entanto, a consagração internacional aconteceria com o prêmio da Academia de Artes e Ciências Cinematográficas de Hollywood. A história de A festa de Babbette se passa no século 19, em um vilarejo protestante no interior da Dinamarca. A forasteira Babette (St;phane Audran) se oferece para trabalhar como governanta e cozinheira de membros da igreja local em troca de abrigo e acaba despertando a desconfiança dos aldeões.
Apesar dos atritos, a francesa Babette assume as despesas e o preparo de um jantar oferecido à elite local, no qual são servidas iguarias desconhecidas na vila, e revelando toda a intolerância religiosa e o provincianismo das pessoas do lugar. A produção também tem a presença da atriz Bibi Andersson (parceira do diretor sueco Ingmar Bergman, com quem trabalhou em Morangos silvestres e O sétimo selo). No total, Axel assinou 69 produções para o cinema e televisão. O último filme da carreira foi Leia, lançado em 2001. Em 2003, o dinamarquês recebeu um prêmio pelo conjunto da obra no Festival Internacional de Cinema de Copenhague.